Reel Sayılar Nedir? Sembolleri ve Alt Kümeleri

Ülkemizde ve hatta dünyanın büyük bir bölümünde kabul edelim matematik oldukça zor ve bu nedenle de sıkıcı bir ders olarak kabul ediliyor. Reel sayılar gibi matematik dersinin konularını duyunca bile pek çok kişi okul günlerini hatırlayıp ürperiyor olabilir. Diğer konuları ayrı tutarsak ve reel sayılara odaklanırsak aslında birkaç derste anlatılandan çok daha fazlası olduğunu, hayatın ve doğanın gerçek bir yansıması olduğunu görürüz.

Reel sayılar adı üstünde gerçek sayılardır. Dolmuşa binerken, yolda yürürken, ağaç dikerken ve uzaya çıkarken bile bu sayılar vardır karşımızda. Elbette bu sayılar üzerinde yapılan sayısız işlem uzmanlık gerektiren bir alandır ancak sıradan vatandaşlar olarak bile her yerde karşımıza çıkan gerçek sayıları biraz daha yakından tanımaktan zarar gelmez. Gelin reel sayılar nedir yakından bakalım ve alt kümeleri, sembolleri ile önemli özelliklerinden bazılarını görelim.

Reel sayılar nedir?

Gerçek ya da gerçel sayılar olarak da adlandırılan reel sayılar, karmaşık sayıların dışındaki tüm sayılara verilen genel addır. Pozitif sayılar, negatif sayılar, tam sayılar, kesirler ve irrasyonel sayılar reel sayılardır. Reel sayılar kümesi R ile gösterilir. Reel sayılar kümesi, rasyonel ve irrasyonel sayılar kümesinin birleşimidir. Bu durumu R = Q ∪ I şeklinde göstermek mümkün.

Reel olmayan sayıların oranı epey düşüktür çünkü doğal sayılar, tüm sayılar, tam sayılar, rasyonel sayılar ve irrasyonel sayılar reel sayılardır. Yalnızca karmaşık sayılar, reel sayı kabul edilmezler. Örnek vermek gerekirse √-1, 2 + 3i ve -i gibi sayıların ve benzerlerinin reel sayı olmadığını söyleyebiliriz.

Reel sayı türleri:

• Rasyonel sayılar
• İrrasyonel sayılar

Rasyonel sayılar:

Rasyonel sayılar, p/q kesri şeklinde tanımlanabilen sayılardır. p pay, q ise paydadır. q ile gösterilen payda asla sıfıra eşit değildir. Doğal sayılar, tam sayılar, ondalık sayılar rasyonel sayılardır. Örnek vermek gerekirse 1/2, -2/3, 0.5, 0.333 gibi sayılar rasyonel sayılardır.

İrrasyonel sayılar:

p ve q tam sayı olduğunda, aynı zamanda q sıfıra eşit olmadığında p/q kesri olarak ifade edilmeyen sayılar, irrasyonel sayılardır. Örneğin π ile gösterilen pi sayısı bir irrasyonel sayıdır. π = 3.14159265… şeklinde başlar ve gider de gider. √2 , – √ 7 gibi reel sayı kabul edilmeyecek sayılar bile bu nedenle irrasyonel sayı kabul edilirler. 

Reel sayı sembolleri:

• Reel sayılar kümesi R ile gösterilir.
• Doğal sayılar kümesi N ile gösterilir.
• Tam sayılar kümesi Z ile gösterilir.
• Pozitif tam sayılar kümesi Z+ ile gösterilir.
• Negatif tam sayılar kümesi Z- ile gösterilir.
• Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.
• İrrasyonel sayılar kümesi I ile gösterilir.

Reel sayıların alt kümeleri:

• Doğal sayılar: Tüm pozitif sayma sayıları doğal sayılar kümesini oluşturur. N = {1, 2, 3, …} şeklinde göstermek mümkün. 
• Tam sayılar: 0 ile birlikte sayıldığı zaman tüm pozitif sayma sayıları yani doğal sayılar, tam sayılar kümesini oluşturur. Z = {0, 1, 2, 3, ..} şeklinde göstermek mümkün.
• Pozitif tam sayılar Z+ = {1, 2, 3, …} şeklinde göstermek mümkün.
• Negatif tam sayılar Z- = {…, -3, -2, -1} şeklinde göstermek mümkün.
• Rasyonel sayılar: p ve q tam sayı, q sıfıra eşit değil olarak p/q kesri şeklinde yazılabilen sayılar rasyonel sayılardır. Q = {-3, 0, -6, 5/6, 3.23} şeklinde göstermek mümkün.
• İrrasyonel sayılar: Rasyonel sayıların kare kökü ve küp kökü gibi durumdaki sayılar irrasyonel sayılardır. I = {√2, -√6} şeklinde göstermek mümkün.

Reel sayıların özellikleri:

• Kapatma özelliği
• İlişkisel özellik
• Değişmeli özellik
• Dağılma özelliği

Kapatma özelliği:

Kapatma özelliği, iki reel sayı çarpıldığı ya da toplandığı zaman sonucun her zaman reel sayı olacağını ifade eden bir özelliktir. Kapatma özelliğini şu şekilde göstermek mümkün; eğer a, b ∈ R, a + b ∈ R ise ab ∈ R olur.

İlişkisel özellik:

İlişkisel özellik, herhangi üç reel sayının toplamının ya da çarpımının sayılar farklı şekilde gruplandırılsa bile aynı kalacağını ifade eder. İlişkisel özelliği şu şekilde göstermek mümkün; eğer a,b,c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c ise a × (b × c) = (a × b) × c olur. 

Değişmeli özellik:

Değişmeli özellik, iki reel sayının toplamının ya da çarpımının sayıların sırası değişse bile aynı kalacağını ifade eder. Değişmeli özelliği şu şekilde göstermek mümkün; eğer a, b ∈ R, a + b = b + a ise a × b = b × a olur. 

Dağılma özelliği:

Reel sayıların dağılma özelliğini toplama, çıkarma ve çarpma işlemlerinde görmek mümkün. Örnek vermek gerekirse; a × (b + c) = (a × b) + (a × c) ve a × (b – c) = (a × b) – (a × c) işlemlerinde reel sayıların dağılma özelliğini görmek mümkün.

Reel sayılar ile tam sayılar arasındaki farklar:

Evet, tam sayılar da reel sayıdır ancak aralarında dikkat edilmezse aynı zannedilecek bazı temel farklar vardır. Bu nedenle birkaç temel özellik üzerinden reel sayılar ve tam sayılar arasındaki farkları görmek gerekiyor.

• Reel sayılar;
  • Reel sayılar; rasyonel sayıları, irrasyonel sayıları, tam sayıları ve doğal sayıları içerir.
  • 1/2, -2/3, 0,5, √2 gibi sayılar reel sayılardır. 
  • Reel sayılar R sembolü ile gösterilir.
  • Sayı doğrusunda karşımıza çıkan her nokta bir reel sayı gösterir.
  • Ondalıklı sayılar ve kesir de reel sayı olarak kabul edilir.
• Tam sayılar;
  • Tam sayılar; negatif sayıları, pozitif sayıları ve 0 sayısını içerir.
  • -4, -3, 0, 1, 2 gibi sayılar tam sayılardır.
  • Tam sayılar Z sembolü ile gösterilir.
  • Yalnızca sayı doğrusundaki negatif ve pozitif sayılar tam sayıları gösterir.
  • Ondalıklı sayılar ve kesirler tam sayı değildir. 

Hayatın ve doğanın gerçek birer yansıması olan reel sayılar nedir; sembolleri, türleri, alt kümeleri ve öne çıkan önemli özellikleri nelerdir gibi merak edilen soruları yanıtladık ve reel sayılar hakkında bilmeniz gereken detaylardan bahsettik. Konu hakkındaki düşüncelerinizi yorumlarda paylaşabilirsiniz.